VICENTE SANABRIA

Cinemática

La cinemática se ocupa de la descripción del movimiento sin tener en cuenta sus causas. La velocidad (la tasa de variación de la posición) se define como la razón entre el espacio recorrido (desde la posición x₁ hasta la posición x₂) y el tiempo transcurrido.

v = e/t (1)

siendo:

e: el espacio recorrido y

t: el tiempo transcurrido.

La ecuación (1) corresponde a un movimiento rectilíneo y uniforme, donde la velocidad permanece constante en toda la trayectoria.

Aceleración

Se define como aceleración a la variación de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la tasa de variación de la velocidad, el cambio de la velocidad dividido entre el tiempo en que se produce. Por tanto, la aceleración tiene magnitud, dirección y sentido, y se mide en m/s ², gráficamente se representa con un vector.

a = v/t

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.)

Existen varios tipos especiales de movimiento fáciles de describir. En primer lugar, aquél en el que la velocidad es constante. En el caso más sencillo, la velocidad podría ser nula, y la posición no cambiaría en el intervalo de tiempo considerado. Si la velocidad es constante, la velocidad media (o promedio) es igual a la velocidad en cualquier instante determinado. Si el tiempo t se mide con un reloj que se pone en marcha con t = 0, la distancia e recorrida a velocidad constante v será igual al producto de la velocidad por el tiempo. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y la aceleración es nula.

v = e/t

v = constante

a = 0

Movimiento uniformemente variado (M.U.V.)

Otro tipo especial de movimiento es aquél en el que se mantiene constante la aceleración. Como la velocidad varía, hay que definir la velocidad instantánea, que es la velocidad en un instante determinado. En el caso de una aceleración a constante, considerando una velocidad inicial nula (v = 0 en t = 0), la velocidad instantánea transcurrido el tiempo t será:

v = a.t

La distancia recorrida durante ese tiempo será

e = ½.a.t ²

Esta ecuación muestra una característica importante: la distancia depende del cuadrado del tiempo (t ²). En el movimiento uniformemente variado la velocidad varia y la aceleración es distinta de cero y constante.

a ≠ 0 = constante

v = variable

1) Acelerado: a > 0

x_f = x_o + v_o.t + ½.a.t ² (Ecuación de posición)

v_f = v_o + a.t (Ecuación de velocidad)

v_f ² = v_o ² + 2.a.Δx

2) Retardado: a < 0

x_f = x_o + v_o.t - ½.a.t ² (Ecuación de posición)

v_f = v_o - a.t (Ecuación de velocidad)

v_f ² = v_o ² - 2.a.Δx

3) Caída libre: Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la fricción del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración constante. En este caso, la aceleración es aproximadamente de 9,8 m/s ². Al final del primer segundo, una pelota habría caído 4,9 m y tendría una velocidad de 9,8 m/s. Al final del siguiente segundo, la pelota habría caído 19,6 m y tendría una velocidad de 19,6 m/s.

En la caída libre el movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y carece de velocidad inicial.

a = g

v_o = 0

y_f = ½.g.t ² (Ecuación de posición)

v_f = g.t (Ecuación de velocidad)

v_f ² = 2.a.Δy

4) Tiro vertical: movimiento acelerado donde la aceleración es la de la gravedad y la dirección del movimiento, puede ser ascendente o descendente.

a = g

v_o ≠ 0

y_f = y_o + v_o.t - ½.g.t ² (Ecuación de posición)

v_f = v_o - g.t (Ecuación de velocidad)

v_f ² = v_o ² - 2.a.Δy

 5) Tiro parabólico: Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola.

Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

v_o ≠ 0

6) Tiro oblicuo: movimiento cuya velocidad inicial tiene componente en los eje x e y, en el eje y se comporta como caída libre, mientras que en el eje x como M.R.U.

En eje x:

v = constante

a = 0

En eje y:

a = g

v_o = 0

EJERCICIOS DE CINEMATICA RESUELTOS 

1 )Transforma72 [ Km / hr ]en[ m / s ]

72 ÷ 3,6=20

72 [ Km / hr ]=20 [ m / s ]

2 )Transforma5 [ m / s ]en[ Km / hr ]

5 × 3,6=18

5 [ m / s ]=18 [ Km / hr ]

3 )Un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniforme ( MRU ) tiene una rapidez de4 [ m / s ].Calcula la distancia que recorre en6 [ s ].

d=v × t

d=4 [ m / s ] × 6 [ s ]=24 [ m ]

4 )Un velocista corre los100 [ m ]planos en10 [ s ]. Calcula su rapidez media.

d=v m × t

100 [ m ]=v m × 10 [ s ]

v m=10 [ m / s ]

5 )Calcula el tiempo que demora un automóvil en recorrer800 [ m ] , con una rapidez media de20 [ m / s ] .

d=v m × t

800 [ m ]=20 [ m / s ] × t

t=40 [ s ]

6 )Dos ciclistas con MRU en un instante dado están a20 [ m ]de distancia. El primer ciclista tiene una rapidez de6 [ m / s ]yel segundo ciclista, que persigue al primero, tiene una rapidez de10 [ m / s ] . Calcula el tiempo que demoraráel segundo ciclista en alcanzar al primero y la distancia que recorrerá c / u, desde ese instante.

Para el primer ciclista:d 1=v 1 × t

Para el segundo ciclista:d 2=v 2 × t

Cuando el segundo ciclista alcance al primero se cumplirá que:

d 2=d 1+20 [ m ]

v 2 × t=v 1 × t+20 [ m ]

v 2 × t–v 1 × t=20 [ m ]

( v 2–v 1 ) × t=20 [ m ]

( 10 [ m / s ]–6 [ m / s ] ) × t=20 [ m ]

4 [ m / s ] × t=20 [ m ]

t=5 [ s ]

Distancia que recorrerá el primer ciclista:d 1=6 [ m / s ] × 5 [ s ]=30 [ m ]

Distancia que recorrerá el segundo ciclista:d 2=10 [ m / s ] × 5 [ s ]=50 [ m ]

7 )Dos proyectiles con MRU se encuentran a600 [ m ]uno del otro. Si se desplazan sobre una misma trayectoria, uno hacia el otro, el primero con una rapidez de80 [ m / s ]yel segundo a70 [ m / s ]. Calcula el tiempo, desde ese instante, que demorarán en chocar y la distancia que recorrerác / u.

Para el primer proyectil:d 1=v 1 × t

Para el segundo proyectil:d 2=v 2 × t

Cuando choquen se cumplirá que:

d 1+d 2=600 [ m ]

v 1 × t+v 2 × t=600 [ m ]

( v 1+v 2 ) × t=600 [ m ]

( 80 [ m / s ]+70 [ m / s ] ) × t=600 [ m]

150 [ m / s ] × t=600[ m ]

t=4 [ s ]

Distancia que recorrerá el primer proyectil:d 1=80 [ m / s ] × 4 [ s ]=320 [ m ]

Distancia que recorrerá el segundo proyectil:d 2=70 [ m / s ] × 4 [ s ]=280 [ m ]

8 )Un móvil que llevaba una rapidez de4 [ m / s ]acelera durante6 [ s ]y adquiere una rapidez de22 [ m / s ].Calcula su aceleración media.

              v 2–v1             22 [ m / s ]–4 [ m / s ]
a m=————— = ——————————–—=3 [ m / s 2 ]
                 t                                  6 [ s ]

9 )Un móvil con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado( MRUA )tiene en un instante dado una rapidez de2 [ m / s ]yuna aceleración de4 [ m / s 2 ]. Calcula el tiempo que demorará, desde ese instante, en alcanzar la rapidez de26 [ m / s ].

        v 2–v1             v 2–v1            26 [ m / s ]–2 [ m / s ]
a=————— = ————– = ——————–————–=6 [ s ]
             t                     a                          4 [ m / s 2 ]

10 )Un atleta tenía en un instante dado una rapidez de4 [ m / s ]. Si a partir de ese instante y durante2 [ s ]adquirió unMRUAcon una aceleración de3 [ m / s 2 ]. Calculala rapidez que alcanzó al cabo de esos2 [ s ].

v 2=v 1+a × t=4 [ m / s ]+3 [ m / s 2 ] × 2 [ s ]=10 [ m / s ]

11 )Un móvil en un instante dado adquirió unMRUAcon una aceleración de5 [ m / s 2 ]. Si al cabo de 6[ s ]alcanzó una rapidez de40 [ m / s ]. Calcula su rapidez inicial en ese instante dado.

v 1=v 2–a × t=40 [ m / s ]–5 [ m / s 2 ] × 6 [ s ]=10 [ m / s ]

12 )Una velocista en una carrera de100 [ m ]planos, partió del reposo con una aceleración de5 [ m / s 2 ] y la mantuvo durante2 [ s ]. Calcula la rapidez que alcanzó y la distancia que recorrió al cabo de esos 2 [ s ].

v 2=v 1+a × t=0 [ m / s ]+5 [ m / s 2 ] × 2 [ s ]=10 [ m / s ]

d=v 1 × t+1/2× a × t 2=1/2× 5 [ m / s 2 ] × 4 [ s 2 ]=10 [ m ]

13 )Un vehículo partió del reposo con una aceleración constante y al cabo de4 [ s ]alcanzó una rapidez de20 [ m / s ]. Suponiendo que el vehículo adquirió unMRUA, calculasu aceleración y la distancia que recorrió durante esos4 [ s ].

        v 2–v1            20 [ m / s ]–0[ m / s ]
a=————– = ———————————– = 5 [ m / s 2 ]
         t                                  4 [ s ]

d=v 1 × t+1/2× a × t 2=1/2× 5 [ m / s 2 ] × 16 [ s 2 ]=40 [ m ]

14 )Un móvil conMRUAtenía en un instante dado una rapidez de28 [ m / s ]. Al cabo de6 [ s ]su rapidez disminuyó a16 [ m / s ]. Calcula su aceleración y la distancia que recorrió en esos6 [ s ].

          v 2–v1          16 [ m / s ]–28 [ m / s ]
a=————– = ———————————— = – 2 [ m / s 2 ]
            t                                6 [ s ]

d=v 1 × t+1/2× a × t 2=28 [ m / s ] × 6 [ s ]+1/2× ( – 2 [ m / s 2 ] ) × 36 [ s 2 ] =132 [ m ]

15 )Un tren que en un instante dado tenía una rapidez de15 [ m / s ]adquirió una aceleración de– 3 [ m / s 2 ]durante2 [ s ]. Calcula su rapidez final y la distancia que recorrió al cabo de esos2 [ s ].

v 2=v 1+a × t=15 [ m / s ]–3 [ m / s 2 ] × 2 [ s ]=9 [ m / s ]

d=v 1 × t+1/2× a × t 2

=15 [ m / s ] × 2 [ s ]+1/2× ( – 3 [ m / s 2 ] ) × 4 [ s 2 ]=24 [ m ]

EJERCITACIÓN CINEMÁTICA

MOVIMIENTO RECTILINEO Y UNIFORMEMENTE VARIADO

1. Una locomotora necesita 10 s. para alcanzar su velocidad normal que es 60Km/h. Suponiendo que su movimiento esuniformemente acelerado ¿Qué aceleración se le ha comunicado y qué espacio ha recorrido antes de alcanzar la velocidad regular?

2. Un cuerpo posee una velocidad inicial de 12 m/s y una aceleración de 2 m/s2 ¿Cuánto tiempo tardará en adquirir una velocidad de 144 Km/h?

3. Un móvil lleva una velocidad de 8 cm/s y recorre una trayectoria rectilínea con movimiento acelerado cuya aceleración es igual a 2 cm/s2. Calcular el tiempo que ha tardado en recorrer 2,10 m.

4. Un motorista va a 72 Km/h y apretando el acelerador consigue al cabo de 1/3 de minuto, la velocidad de 90 Km/h. Calcular a) su aceleración media. b) Espacio recorrido en ese tiempo.

5. En ocho segundos, un automóvil que marcha con movimiento acelerado ha conseguido una velocidad de 72 m/s. ¿Qué espacio deberá recorrer para alcanzar una velocidad de 90 m/s?

6. Se deja correr un cuerpo por un plano inclinado de 18 m. de longitud. La aceleración del móvil es de 4 m/s2; calcular a) Tiempo que  tarda el móvil en recorrer la rampa. b) velocidad que lleva al finalizar el recorrido inclinado.

7. Dos móviles se dirigen a su encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre sí 180 Km. Si se encuentran a los 9 s de salir y los espacios recorridos por los móviles están en relación de 4 a 5, calcular sus aceleraciones respectivas.

8. Un avión despega de la pista de un aeropuerto, después de recorrer 1000 m de la misma, con una velocidad de 120 Km/h. Calcular a) la aceleración durante ese trayecto. b) El tiempo que ha tardado en despegar si partió del reposo c) La distancia recorrida en tierra en el último segundo.

9. Un móvil se mueve con movimiento acelerado. En los segundos 2 y 3  los espacios recorridos son 90 y 100 m respectivamente. Calcular la velocidad inicial del móvil y su aceleración.

10. Dos cuerpos A y B situados a 2 Km de distancia salen simultáneamente uno en persecución del otro con movimiento acelerado ambos, siendo la aceleración del más lento, el B, de 32 cm/s2. Deben encontrarse a 3,025 Km. de distancia del punto de partida del B. Calcular a) tiempo que tardan en encontrarse, b) aceleración de A. c) Sus velocidades en el momento del encuentro.

MOVIMIENTO DE CAIDA DE CUERPOS.

1. Una bombilla cae del techo de un tren que va a 40 Km/h. Calcular el tiempo que tarda en caer si el techo dista del suelo 4 metros.

2. Se suelta un cuerpo sin velocidad inicial. ¿Al cabo de cuánto tiempo su velocidad será de 45 Km/h?

3. Desde lo alto de una torre se deja caer un cuerpo. ¿A qué distancia del suelo tendrá una velocidad igual a la mitad de la que tiene cuando choca contra el suelo?

4. Un cuerpo en caída libre pasa por un punto con una velocidad de 20 cm/s. ¿Cuál será su velocidad cinco segundos después y qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

5. Desde la azotea de un rascacielos de 120 m. de altura se lanza una piedra con velocidad de 5 m/s, hacia abajo. Calcular : a) Tiempo que tarda en llegar al suelo, b) velocidad con que choca contra el suelo.

6. Una piedra cae libremente y pasa por delante de un observador situado a 300 m del suelo. A los dos segundos pasa por delante de otro que está a 200 m del suelo. Calcular : a) altura desde la que cae. b) velocidad con que choca contra el suelo.

7. Si queremos que un cuerpo suba 50 m. verticalmente. ¿Con qué velocidad se deberá lanzar? ¿Cuánto tiempo tardará en  caer de nuevo a tierra?

8. Se dispara verticalmente un proyectil hacia arriba y vuelve al punto de partida al cabo de 10 s. Hallar la velocidad con que se disparó y la altura alcanzada.

9. Lanzamos verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de 900 Km/h. Calcular a) Tiempo que tarda en alcanzar 1 Km. de altura. b) Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima c)Altura alcanzada.

10. Del techo de un ascensor que dista 2 m del suelo, se  desprende un tornillo en el momento mismo del arranque del ascensor que sube con una velocidad constante de 1 m/s. Calcular a) la distancia a la que estará el tornillo del suelo 0,5 s. después de iniciada la subida. b) Tiempo que tardará en tocar el suelo.

11. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo; el 1º con una velocidad inicial de 50 m/s y el 2º con una velocidad inicial de 80 m/s. Calcular a) Tiempo que pasa hasta que los dos se encuentren a la misma altura. b) A qué altura sucederá el encuentro. c) Velocidad de cada proyectil en ese momento.

MOVIMIENTOS COMBINADOS.

1. Partiendo del reposo un móvil alcanza al cabo de 25 s. una velocidad de 100 m/s. En los 10 primeros s. llevaba un movimiento uniformemente acelerado y en los 15 s. restantes, un movimiento uniforme. Calcular el espacio total recorrido por dicho móvil.

2. Una canoa invierte 20 minutos para bajar cierto trayecto de un río y 36 minutos para hacer el mismo recorrido en sentido contrario. Calcular las velocidades de la canoa en los dos casos si la longitud del recorrido ha sido 10,8 Km.

3. Un hombre deja caer una piedra en un pozo de una mina de 250 m. de profundidad. Calcular el tiempo que tardará en oír el ruido de la piedra al chocar contra el fondo (velocidad del sonido 340 m/s )

4. La velocidad de un remolcador respecto del agua de un río es de 12 Km/h. La velocidad de la corriente es de 1.25 m/s. Calcular el tiempo que durará el viaje de ida y vuelta entre dos ciudades situadas a 33 Km. de distancia en la misma orilla del río.

5. Dos móviles salen del mismo lugar en el mismo sentido : uno con velocidad constante de 30 m/s y el otro con aceleración constante de 1,5 m/s2. ¿Al cabo de cuanto tiempo volverán a estar juntos? ¿qué recorrido habrá hecho cada uno?

6. Se cruzan dos trenes en sentido contrario con velocidades de 60 Km/h el primer tren y desconocida la del segundo. Si tardan en cruzarse 6 segundos y la longitud del segundo tren es de 175 m. calcular la velocidad con que se mueve el segundo tren.

7. Dos ciclistas pasan por una carretera rectilínea con velocidad constante. Cuando van en el mismo sentido, el primero adelanta al segundo 150 m/min.; cuando van en sentidos contrarios, el uno se acerca a otro 350  m. cada veinte segundos. Hallar la velocidad de cada ciclista.

8. en el instante en que la señal luminosa de tráfico se pone verde, un autobús que ha estado esperando, arranca con una aceleración constante de 1,80 m/s2.En el mismo instante, un camión que viene con una velocidad constante de 9 m/s alcanza y pasa el autobús. Calcular: a) ¿a qué distancia vuelve a alcanzarle el autobús al camión. b) Qué velocidad lleva en ese momento el autobús.

9. El maquinista de un tren que marcha a 72 Km/h observa que otro tren de 200 m de largo tarda en pasarle 4 segundos. Hallar: a) Velocidad del segundo tren si se mueven ambos en sentidos contrarios. b) Velocidad del segundo tren si se desplazan ambos en el mismo sentido.

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